Alat Peraga Garis Singgung LIngkaran

Makalah

Dosen Pembimbing : Aspikal S.Pd M.Pd

<![if !vml]><![endif]>

(GARIS SINGGUNG LINGKARAN)

    DI SUSUN OLEH   :

TITIN UMIATY

512 042

<![if !vml]><![endif]>MATEMATIKA II

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

( STKIP ) MUHAMMADIYAH BONE

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta taufiq-Nya sehingga penulis bisa menyelesaikan MAKALA ALAT PERAGA GARIS SINGGUNG LINGKARAN (ROGSILING)  ini dapat pada waktunya.

            Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan MAKALA ALAT PERAGA GARIS SINGGUNG LINGKARAN (ROGSILING) ini.

            Penulis menyadari sepenuhnya bahwa MAKALA ALAT PERAGA GARIS SINGGUNG LINGKARAN (ROGSILING) ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu,sangat diharapkan kritikan dan saran yang sifatnya membangun dari berbagai pihak demi kesempurnaan MAKALA ALAT PERAGA GARIS SINGGUNG LINGKARAN (ROGSILING) ini.

            Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang membaca MAKALA ALAT PERAGA GARIS SINGGUNG LINGKARAN (ROGSILING) ini, mudah-mudahan dapat memberikan manfaat baik sekarang maupun yang akan datang.

                                                                                                                   Watampone, 28 Juni 2014

Titin Umiaty

Penulis

            i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR................................................................................... i

DAFTAR ISI................................................................................................. ii

BAB 1 : PENDAHULUAN

   A .Latar Belakang....................................................................................... 1

   B .Rumusan Masalah................................................................................... 1

   C .Tujuan dan Manfaat............................................................................... 1

BAB 2 : PEMBAHASAN

<![if !supportLists]>A.    <![endif]>Kegunaan Alat Peraga........................................................................... 2

<![if !supportLists]>B.     <![endif]>Alat dan Bahan..................................................................................... 2

<![if !supportLists]>C.     <![endif]>Cara pembuatan rogsiling...................................................................... 3

<![if !supportLists]>D.    <![endif]>Cara penggunaan rogsiling.................................................................... 4

<![if !supportLists]>E.     <![endif]>Contoh soal........................................................................................... 7

BAB 3 : PENUTUP

   A.  Kesimpulan............................................................................................ 8

   B.  Saran...................................................................................................... 8

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 9

ii

BAB 1

PENDAHULUAN

<![if !supportLists]>A.    <![endif]>Latar Belakang

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat disatu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Sifat dari garis singgung lingkaran antara lain:

1. garis singgung lingkaran memotong lingkaran hanya pada satu titik.

2. garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkarang pada titik singgung.

3. garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada singgung lingkaran pasti meleui titik pusat lingkaran.

4. garis yang tegak lurus dengan diameter dan melalui titik ujungnya adalah garis singgung.

 Untuk pembelajaran garis singgung lingkaran diperlukan alat perga yang biasa  disebut rogsiling.

Alat peraga rogsiling ini dapat dibuat dari papan atau tripleks yang berisikan alaat peraga untuk  mencari garis singgung persekutuan dalam, persekutuan luar dan rumus phytagoras. Alat dilengkapi dengan roda- roda berbagai ukuran dan tongkat bergeser sebagai alat bantu.Alat peraga ini dibentuk sedimikian rupa dengan penggunaan sistem pergeseran dan bongkar pasang.

<![if !supportLists]>B.     <![endif]>Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang terkandung dalam makalah ini adalah bagaimana cara membuat dan menggunakan alat peraga rogsiling?

<![if !supportLists]>C.     <![endif]>Tujuan

Tujuan dri penulisan makala ini adalah membantu para peserta untuk:

1. Lebih mudah mengikuti kegiatan diklat khususnya dalam hal penggunaan alat peraga dalam pembelajaran matematika.

2. Menambah wawasan para peserta dalam hal penggunaan alat peraga dalam pembelajaran matematika yang nantinya dapatdikembangkan sendiri oleh peserta didik.

3. Dapat memanfaatkan alat peraga matematika dalam pembelajaran sesuai kompotensi yang akan dicapai.

1

BAB 2

PEMBAHASAN

ALAT PERAGA

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

ROGSILING

<![if !vml]><![endif]>

<![if !supportLists]>A.    <![endif]>Kgunaan

 Alat peraga rogsiling dibuat dengan tujuan untuk  menyelesaikan bebagai permaslahan tentang garis singgung persekutuan dalam, persekutuan luar dan rumus phytagoras.

<![if !supportLists]>B.     <![endif]>Alat dan Bahan

Alat:    a) penggaris

b) Paku dan Palu

c) Gergaji                                

d) Gunting

e) obeng

f) Kuas kecil 3 buah

g) Pulpen

i) lem

2

Bahan:a) Kayu

b) Triplek Whiteboard (80 cm x 60 cm)

c) Paku kecil dan skrup

d) Cat warna merah, kuning, biru, putih dan hijau

e) Triplek (50 cm x 50 cm)

f) Permanen marker ( hitam dan biru)

C. Cara Pembuatan

A. Cara membuat alat peraga rogsiling adalah sebagai berikut:

1. Menyiapkan alat dan bahan yang akan digunakan.

2. Potong papan 80cm x 60 cm sebagai alasnya.

3. Membuat sketsa lingkaran dan pola penulisan pada papan.

4. Potong papan berbentuk lingkaran 4 buah. Masing-masing 2 buah ukurannya 15 cm di cat warna hijau dan 8 cm di cat warna kuning dan merah.

5. Lingkaran yang telah di cat tersebut dipasang pada papan sesuai lubang yang di pasang skrup terhadap titik pusat lingkaran.

6. Tambahkan lingkaran dengan cat berwarna merah di belakang papan lingkaran yang warna kuning.

7.  Potong kayu sebagai garis Q dan S (Jarak Pusat antara lingkaran pertama dan lingkaran kedua). Kemudian buat garis yang menghubungkan anatara lingkaran dengan titik pusat sehingga membentuk garis singgung  persekutuan luar dan dalam lingkaran.

8.  Potong kayu sebagai garis singgung antara lingkaran I dengan lingkaran II.

9.  Potong papan triplek berbentuk segitiga sebagai keterangan pembuktian rumus phytagoras, kemudian pasang pada papan.

10. Beri Judul dan lainnya pada papan.

11. Buat gambar kotak kecil di bagian samping kanan kesimpulan, guna menempatkan jawaban dari kesimpulan hasil pengamatan siswa.

12.  Potong kayu sesuai ukuran papan dan dipaku dibagian tepi papan alas.

3

B. Phytagoras

1. Pada papan terdapat segitiga siku-siku yang kongruen dengan sisi miring A dan sisi yang lain disimbolkan dengan B dan C.

2. Tempelkan segitiga- segitiga itu pada bagian papan yang telah disediakan. Sehingga membentuk bngun persegi ditengah- tengah bangun segitiga.

3. Dari pembentukan bangun  tersebut, terdapat adanya dalil phytagoras:

            a² = b² + c²

b² = a² – c²

c² = a² – b²

D. Cara Penggunaan

Cara menggunakan alat peraga rogsiling adalah sebagai berikut:

a. Garis Singgung Persekutuan Dalam

1) Pada papan yang tersedia terdapat lingkaran yang berwarna hijau dengan titik pusat (P) yang disebut lingkaran I. Dan lingkaran berwarna kuning dengan titik pusat Q yang disebut lingkaran II. Serta lingkaran berwarna merah dengan titik pusat Q yang disebut lingkaran III.

2) Dari titik pusat lingkaran I (P) dan titik pusat lingkaran II & III (Q) terdapat garis K.

3) Jari-jari lingkaran I disebut (R) dan jari-jari lingkaran III disebut (r).

4) Buat sebuah titik  pada tepi bagian bawah lingkaran I, kemudian tarik titik tersebut ke titik pusat lingkaran I

5) Tarik titik yang telah dibentuk dari tepi lingkaran I tersebut ke tepi bagian atas lingkaran II. Dan beri nama (S₁) pada garis tersebut.

6) Tarik jari-jari (R) dari titik (P) pada lingkaran I, perpanjang sebesar jari-jari lingkaran  II dan dinamai titik (D). Kemudian ditarik garis menuju titik pusat lingkaran II membentuk sudut 90⁰ sehingga terbentuklah bangun dengan siku-siku di D dan garis miring (K).

7) Panjang garis singgung S₁ sama dengan garis ………., sehingga dapat dicari panjang garis singgung persekutuan dalam tersebut dengan rumus phytagoras.

4

Panjang garis Singgung Persekutuan Dalam

<![if !vml]><![endif]>

<![if !supportLists]>    <![endif]>Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ = panjang AB = d.

<![if !supportLists]>    <![endif]>Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.

Perhatikan ΔPSQ. Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. 

PQ2 = PS2 + SQ2 SQ2 = PS2– PQ2 d2= k2– (R +r)2 ; R > r
  
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:
<![if !vml]><![endif]>
     dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam
                 k = jarak kedua titik pusat lingkaran
                R = jari-jari lingkaran pertama
                 r = jari-jari lingkaran kedua

b. Garis Singgung Persekutuan luar

1) Pada papan yang tersedia terdapat lingkaran yang berwarna hijau dengan titik pusat (P) yang disebut lingkaran I.

5

Dan lingkaran berwarna kuning dengan titik pusat Q yang disebut lingkaran II. Serta lingkaran berwarna merah dengan titik pusat Q yang disebut lingkaran III.

2) Dari titik pusat lingkaran I (P) dan titik pusat lingkaran II & III (Q) terdapat garis K.

3) Jari-jari lingkaran I disebut (R) dan jari-jari lingkaran III disebut (r).

4) Buat sebuah titik  pada tepi bagian atas lingkaran I, kemudian tarik titik tersebut ke titik pusat lingkaran I

5) Tarik titik yang telah dibentuk dari tepi lingkaran I tersebut ke tepi bagian atas lingkaran II. Dan beri nama (S₁) pada garis tersebut.

6)  Tarik garis pada jari-jari lingkaran I ke titik pusat (P) sebesar jari-jari lingkaran II (r) dan beri nama titik (D). Kemudian ditarik garis menuju titik pusat lingkaran II sehingga terbentuk segitiga siku-siku PQD dengan siku-siku di D dan garis miring (K).

7)  Panjang garis singgung S₁ sama dengan garis ………., sehingga dapat dicari panjang garis singgung persekutuan dalam tersebut dengan rumus phytagoras.

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dua Lingkaran

<![if !vml]><![endif]>

              

<![if !supportLists]>    <![endif]>Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.

<![if !supportLists]>    <![endif]>R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

<![if !supportLists]>    <![endif]>l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

<![if !supportLists]>    <![endif]>k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r. 

<![if !supportLists]>    <![endif]>AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)

6

Perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
∆SPQ siku-siku di S sehingga :

<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>
<![if !vml]><![endif]>

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:
<![if !vml]><![endif]>
dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar
           k = jarak kedua titik pusat lingkaran
           R = jari-jari lingkaran pertama
           r = jari-jari lingkaran kedua

D. Contoh Soal

Pada gambar dibawah AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan k = 17 cm, R = 25 cm, dan r =17 cm. Hitunglah panjang AB!

Jawab:

Dari gambar diperoleh:

Jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,

Panjang jari- jari lingkaran pertama, R = 25 cm,

Panjang jari- jari lingkaran kedua, r = 17 cm,

Panjang garis singgung persekutuan luar =

Maka l =<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>                 

            =<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>                                               

           =<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]>

            =<![if !msEquation]><![if !vml]><![endif]><![endif]> = 15 cm           

                                    <![if !vml]><![endif]>

7

BAB 3

PENUTUP

<![if !supportLists]>A.    <![endif]>Kesimpulan

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat disatu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Sifat dari garis singgung lingkaran antara lain:

1. garis singgung lingkaran memotong lingkaran hanya pada satu titik.

2. garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkarang pada titik singgung.

3. garis yang tegak lurus dengan garis singgung pada singgung lingkaran pasti meleui titik pusat lingkaran.

4. garis yang tegak lurus dengan diameter dan melalui titik ujungnya adalah garis singgung.

<![if !supportLists]>B.     <![endif]>Saran

Dengan diselesaikannya makalah ini, penulis berharap makalah ini dapat menambah pengetahuan serta wawasan pembaca. Selanjutnya, penulis juga mengharapkan kritik dan saran guna menyempurnakan makalah ini kedepannya.

8

DAFTAR PUSTAKA

http//peragamatematika.blogspot.com/2015/01/garis-singgung-lingkaran.

9